martes, 3 de octubre de 2017

Fragmento de "Alex's Adventures in Numberland", de Alex Bellos

Me ha gustado mucho, pese al título, "Alex's adventures in Numberland"(1); me ha resultado especialmente satisfactorio el capítulo de geometría no euclídea, en primer lugar porque es un tema al que le tengo cierto cariño (fue una de mis asignaturas favoritas en la carrera, aunque a estas alturas solo recuerde de ella que me gustaba), y en segundo lugar por la historia que deja caer en este medio folio sobre matemáticos de la Europa oriental:
Uno de los más decididos aspirantes a probar el postulado de las paralelas(2) a partir de los otros cuatro (y demostrar con ello que no era un postulado, sino un teorema), era Janós Bolyai, un estudiante de ingeniería de Transilvania. Su padre, que era matemático, conocía la dimensión del desafío porque él mismo había fracasado al intentarlo, y le imploró que se detuviese: "Por Dios te lo suplico, abandona. Témelo tanto como las pasiones sensuales, pues también esto ocupará todo tu tiempo, y te privará de la salud, la tranquilidad y la felicidad en la vida".
Janós ignoró el consejo de su padre, pero esa no fue su mayor rebelión: se atrevió a considerar que el quinto postulado pudiese ser falso. "Los Elementos" era para las matemáticas lo que la Biblia para la cristiandad: un libro infalible, una verdad sagrada. Había debate sobre si el quinto era un axioma o un teorema, pero nadie había tenido la osadía de sugerir que pudiese ser falso. Hacerlo resultó ser la puerta a un nuevo mundo.
El postulado de las paralelas dice que, para una línea cualquiera y un punto cualquiera que no esté sobre esa línea, existe como mucho una paralela a la línea que pase por el punto. La audacia de Janós fue postular, en lugar de eso, que más de una paralela a la línea pasaría por el punto. Aunque no estaba claro cómo visualizar una superficie para la cual esta afirmación fuese cierta, Janós se dio cuenta de que la geometría creada al unir su afirmación a los cuatro primeros postulados seguía siendo matemáticamente consistente.
Era un descubrimiento revolucionario, y Janós reconoció su importancia. En 1823 escribió a su padre anunciando: "De la nada, he creado un nuevo universo".
Probablemente a Janós le ayudó el hecho de que estaba trabajando al margen de todas las instituciones matemáticas, y por tanto estaba menos adoctrinado por las visiones tradicionales. Incluso después de haber hecho su descubrimiento, decidió no dedicarse a las matemáticas. Después de graduarse se unió al ejército austro-húngaro, donde fue considerado el mejor bailarín y espadachín de entre sus colegas. También era un músico extraordinario, y se dice que en una ocasión retó a trece oficiales a duelos, con la condición de que, si vencía, le tocaría al perdedor una pieza con su violín.
Sin que Janós lo supiese, y desde un punto todavía más alejado de los centros académicos europeos que Transilvania, otro matemático estaba haciendo de manera independiente avances similares, pero su trabajo fue rechazado por el establishment matemático.
En 1826, Nikolai Ivanovich Lobachevsky, un profesor  de la Universidad de Kazan en Rusia, presentó  a la Academia de Ciencias de San Petersburgo un paper en el que cuestionaba el postulado de las paralelas. Fue rechazado, así que Lobachevsky decidió publicarlo en un periodico local de Kazan. Consecuentemente, nadie le hizo ningún caso.

(1) Los dos libros sobre matemáticas de Alex Bellos, "Alex's adventures in Numberland" y "Alex through the looking glass" fueron reeditados en Estados Unidos, respectivamente, como "Here's looking at Euclid" y "The grapes of Math". Opino que el título del primero mejora mucho con la reedición, pero se me escapa qué pretendían al cambiar las referencias a Alicia por Steinbeck, francamente.
(2) Y es aquí, en la segunda nota al pie de una entrada que, honestamente, tendría que haber sido simplemente una transcripción, sin haberme distraído ni siquiera con traducirla, donde voy a exponer los cinco postulados de la geometría euclídea.
Los postulados son verdades fundamentales que Euclides da por evidentes y no demuestra, que constituyen la base para todos sus razonamientos posteriores.
Y los cuatro primeros, desde luego, parecen simples y evidentes a estas alturas: dos puntos determinan un segmento, un centro y un radio determinan una circunferencia, cualquier segmento se puede extender indefinidamente en cualquier dirección en una recta, y todos los ángulos rectos son iguales entre sí. Aunque no tengo claro qué significa exactamente lo que acabo de decir, parecen básicamente cuatro perogrulladas.
El problema viene en el quinto, el "postulado de las paralelas", cuya formulación original ("Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos") es tan fea y enrevesada(3) que ha motivado a un número de matemáticos a lo largo de la historia para tratar de degradarlo y eliminarlo de la lista de verdades fundamentales, tratando como se dice en el texto original, del cual esto sigue siendo, increíblemente, una mera nota al pie— de probarlo a partir de los otros cuatro postulados.
(3) Esto ha sido hacer trampa, la verdad, porque una vez que desenredas esa formulación acabas llegando a algo como "dos rectas no paralelas se cortan en un punto", que parece tan simple y evidente como los otros cuatro. La forma más popular del postulado la que aparece un poquito más adelante en el texto original, del cual es posible que esto ya no sea una nota al pie— es la siguiente: "por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela". 

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